EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - RAZÕES E PROPORÇÕES

 

01) Paulo resolveu 20 questões de Matemática e acertou 18. João, resolveu 30 questões e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

Para verificarmos o desempenho de Paulo e João, teremos que ver o razão de acertos pelo número de questões que realizaram, assim teremos:

Paulo: 

 

 João:

 Resposta: Tem apresentou o melhor desempenho foi Paulo.

Observe, para que possamos responder a pergunta deveremos levar, no caso das frações, ambas ao mesmo denominador, ou efetuar a divisão e ver o valor de cada razão.

02) Felipe Massa percorreu 680 km em 4 horas. Qual foi a sua velocidade média?

Lembrando:

 

Assim, teremos:

 

Logo a sua velocidade média foi de 170 km/h.

03) Um estado brasileiro tem uma população de 10 milhões de habitantes e uma densidade demográfica de 40 habitantes por km². Qual é a sua superfície?

Sabemos que:

 

É dado no problema:

Densidade Demográfica = 40 hab/km²

População (n° de habitantes) = 10 milhões = 10.000.000 hab

Assim:

 

Assim a superfície (área) do estado em questão é de 250.000 km².

04) Se a escala de um mapa é 5 cm por 2 500 000 cm, e dois pontos no mapa estão à distância de 25 cm, ao longo de uma rodovia, a distância real em km é:

Podemos escrever que a escala do mapa é de:

Como temos no mapa a distância de 25 cm, podemos escrever que:

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

5 . x = 25 . 2500000   ou    5 . x = 62500000  ou  x = 62500000 / 5 = 12500000 cm

Veja que a resposta é pedida em quilômetros, e mais adiante veremos estas relações entre as medidas, mas podemos intuitivamente responder esta pergunta, veja:

Sabemos que 1 km corresponde a 1000 metros e que 1 metro corresponde a 100 cm, logo podemos dizer que:

12500000 cm = 12500000 / 100 = 125000 metros

e

125000 m = 125000 / 1000 = 125 quilômetros

Portanto a distância de 25 cm no mapa corresponde a uma distância de 125 km, assim podemos dizer que a rodovia tem 125 km.

05) Calcule a densidade de um objeto que possui 3 000g de massa e 15cm³ de volume.?

Sabemos que:

Como temos:

Massa = 3000 g

Volume = 15 cm³

Podemos calcular que:

 

Logo, a densidade do objeto é de 200 g/cm³.

06) Calcule o valor de x em cada proporção:

       

Aplicando a propriedade fundamental, teremos:

 

  

Teremos:

 

    

Teremos:

07) Uma gravura de forma retangular medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. Qual deverá ser o comprimento da gravura ampliada?

Estabelecendo uma razão entre a largura e o comprimento, por exemplo, podemos escrever a seguinte proporção:

Aplicando a propriedade fundamental:

Assim podemos dizer que o comprimento da gravura ampliada será de 2,1 metros.

 

08) Uma roda de automóvel dá 2 500 voltas em 10 minutos. Quantas voltas dará em 12 minutos?

Estabelecendo uma razão entre o número de voltas e o tempo em minutos, podemos escrever que:

Podemos dizer que em 10 minutos a roda do automóvel dará 3 000 voltas.

09) Uma empresa tem 500 empregados, sabendo que de cada 5 empregados dessa empresa, 2 são mulheres e 3 são homens. Quantos são os homens e as mulheres que trabalham nessa empresa?

Podemos dizer que a quantidade de mulheres da empresa está pára 2 assim como a quantidade de homens está para 3, logo podemos estabelecer a seguinte proporção:

Como sabemos que o total de empregados é 500, podemos dizer que M + H = 500, o que sugere aplicar a propriedade da soma nos antecedentes e dos conseqüentes, ou:

 

Veja que razão é 100, logo podemos escrever que:

 

Podemos dizer que na empresa trabalham 200 mulheres e 300 homens.

10) As áreas de dois quadrados estão entre si assim como 3 está para 4. Calcule a área de cada quadrado, sabendo que elas somam 42 m².

Vamos chamar A₁ e A₂ as áreas dos dois quadrados, e sabendo que A₁ + A₂ = 42 podemos escrever que

 

Assim, podemos dizer que os quadrados têm de área 18 m² e 24 m², respectivamente (Observe: 18 + 24 = 42)

11) Divida o número 54 em partes diretamente proporcionais a 4 e 5.

Observe que o número 54 será dividido em dois números, que chamaremos de x e y, onde podemos dizer que x + y = 54, assim teremos:

Logo, os números procurados são 24 e 30 (veja: 24 + 30 = 54)

12) Divida o número 180 em partes diretamente proporcionais a 4, 2, e 3.

O número 180 será dividido em três outros que chamaremos de a, b e c, podemos dizer também que a + b + c = 180, logo:

Portanto, os números procurados são 80, 40 e 60 ( 80 + 40 + 60 = 180 )

13) Divida o número 30 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

Vamos dividir o número 30 em dois outros números que chamaremos de x e  y, como estes deverão ser inversamente proporcionais a 2 e 3, escreveremos:

 Logo, os números procurados são 18 e 12 (veja: 18 + 12 = 30) 

14) Divida o número 380 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4.

Assim  como os anteriores, podemos escrever:

Os números serão 200, 80 e 100 ( 200 + 80 + 100 = 380)

15) Sendo A = { 10; x; y } e B = { 2; 3; 5 }, determinar os valores de x e y de maneira que os elementos de A sejam diretamente proporcionais aos elementos de B.

Se os elementos do conjunto A são diretamente proporcionais aos elementos do conjunto B, podemos escrever que:

Podemos dizer que x = 15 e y = 25 ou A = { 10, 15. 25 }

16) Sendo A = { 2; x; y } e B = { 15; 5; 6 }, determinar os valores de x e y de maneira que os elementos de A sejam inversamente proporcionais aos elementos de B.

Se os elementos do conjunto A são inversamente proporcionais aos elementos do conjunto B, podemos escrever que:

 

     Teremos que x = 6 e y = 5 ou A = { 2, 6, 5 } 

17) Divida 36 balas entre duas crianças de 4 e 5 anos, de modo que o número de balas que receberá cada criança seja diretamente proporcional à sua idade. Quantas balas receberá cada criança?

Resolução semelhante ao do problema 11. Vamos chamar de x e y as duas crianças,sabemos que receberão 36 balas, logo x + y = 36, assim teremos:

      Assim, a criança que tem 4 anos receberá 16 balas e a de 5 anos 20 balas (16+20=36).

 18) Três amigos formaram uma sociedade. O primeiro entrou com R$ 60.000,00, o segundo, com R$ 75.000,00 e o terceiro, com R$ 45.000,00. No balanço anual houve um lucro de R$ 30.000,00. Quanto coube do lucro para cada sócio?

Problema idêntico ao nº 12, chamaremos de a, b e c os três sócios, sabendo que juntos receberão R$30.000,00 (vamos dividir tudo por 1.000 para facilitar a resolução), teremos que a + b + c = 30, logo:

 

Lembrando que os valores foram divididos por 1000, teremos que: o primeiro receberá 10 x 1000 = R$10.000,00; o segundo receberá 12,5 x 1000 = R$12.500,00 e o terceiro 7,5 x 1000 = R$7.500,00 (veja: 10.000 + 12.500 + 7.500 = 30.000).

          

 19) O perímetro de um terreno é 72m. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. Qual a medida do menor lado desse terreno?

Seguindo o que fizemos para solucionar o problema 14, e chamando os lados do terreno de x, y, z e m, lembrando que o perímetro de um polígono e a soma das medidas de seus lados, podemos escrever que x + y + z + m = 72

   

Portanto a medida do menor lado do terreno é de 10metros (veja: 30+20+12+10=72)

20) Dividiu-se certa quantia entre três pessoas em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 6. Tendo a primeira recebido R$ 600,00, quais são as partes das outras duas?

Se chamarmos as pessoas de a, b e c, como a primeira recebeu R$600,00, podemos dizer que a = 600, portanto teremos:

Assim, podemos dizer que a segunda recebeu R$750,00 e a terceira R$900.00.