5.6. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PRPORCIONAIS

 

Grandezas diretamente proporcionais: Vamos considerar a seguinte situação: Estamos viajando num carro a uma velocidade constante de 100 km/h, assim, depois de 1 hora teremos percorrido 100 km, depois de 2 horas, 200 km, depois de 3 horas, 300 km ......

Na tabela abaixo indicamos as distâncias percorridas e seus respectivos tempo:

Distância (d)	100	200	300	400	500
Tempo (t)	1	2	3	4	5

Os quocientes d/t são todos iguais a 100, que representa a velocidade constante (na física a razão distância sobre o tempo representa a velocidade), assim, temos:

Logo, as sequências (100; 200; 300; 400; 500), que representa a distância, e (1; 2; 3; 4; 5), que representa o tempo, são seqüências diretamente proporcionais.

Dizemos, então, que duas sequências de números reais não nulos (a₁; a₂; a₃; ...; a_n) e (b₁; b₂; b₃; ...; b_n) são diretamente proporcionais se, e somente se:

Obs: k é chamada de constante de proporcionalidade.

Divisão em partes diretamente proporcionais: Considere o número 160. Vamos dividi-lo em partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.

Para tanto, vamos representar os números que desejamos encontrar por x, y e z.

As seqüências (x; y; z) e (2; 3; 5) são diretamente proporcionais, logo, podemos escrever:

 

Como x + y + z = 160 e usando a propriedade da soma, teremos:

 

Assim:

Grandezas inversamente proporcionais: Vamos considerar a seguinte situação: Necessitamos percorrer a distância de 720 km, já vimos que de acordo com a velocidade iremos levar um determinado tempo. Na tabela abaixo, indicamos as velocidades médias (km/h) e os respectivos tempos (h) necessários para percorrer os 720 km.

Velocidade (v)	60	90	120	180	240
Tempo (t)	12	8	6	4	3

Os produtos v x t são todos iguais a 720, que representa a distância percorrida (na física distância é igual ao produto da velocidade pelo tempo), assim temos:

60 x 12 = 90 x 8 = 120 x 6 = 240 x 3 = 720

Observe que as seqüências (60; 90; 120; 180; 240), que representa a velocidade, e (12; 8; 6; 4; 3), que representa o tempo, são seqüências inversamente proporcionais, pois a medida que a velocidade aumenta o tempo diminui. Considerando o tempo uma razão inversa e utilizando a representação em proporções, podemos escrever como:

Dizemos, então, que duas seqüências de números reais não nulos (a₁; a₂; a₃; ...; a_n) e (b₁; b₂; b₃; ...; b_n) são inversamente proporcionais se, e somente se:

ou

Divisão em partes inversamente proporcionais: Considere o número 45. Vamos dividi-lo em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 6.

Vamos representar os números procurados por x, y e z. Como as seqüências (x; y; z) e (3; 4; 6) são inversamente proporcionais, temos:

 

 

Sabendo que x + y + z = 45 e usando a propriedade da soma, teremos:

Lembre:   

Assim, podemos escrever que:

e