3.5. EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Definição: chamamos de equação do 1º grau toda equação do tipo: ax + b  = 0 onde a e b são números conhecidos com a não nulo.

São exemplos de equações do 1º grau:

                                                           3x + 7 = 0 (a = 3 e b = 7)

                                                           2x – 4 = 0 (a = 2 e b = –4)

                                                           2 – 5x = 0 (a = -5 e b = 2)

                                                           x + 2 = 0 (a = 1 e b = 2)

                                                           5x = 0 (a = 5 e b = 0)

Resolução: para resolvermos uma equação do 1º grau devemos, inicialmente, reduzi-la, através de transformações, à forma  Ax = B, com A não nulo, posteriormente devemos determinar a   raiz x = B : A da equação.

Exemplos: 

Resolver as equações

a)  5x – 10 = 0

5x = 10  (forma Ax = B)

x = 10 : 5 = 2

b)   10x – 12 = 7x

10x – 7x = 12

3x = 12  (forma Ax = B)

X = 12 : 3 = 4

c)  3(x + 1) – 2(x – 3) = 5

3x + 3 – 2x + 6  = 5

x + 9 = 5

x =  5 – 9

x = -4

Sistema de equações do 1º grau: devemos recordar que uma equação do 1º grau com duas incógnitas é uma sentença aberta com duas variáveis.

Duas ou mais equações do 1º grau com duas variáveis constituem um sistema de equações.

Exemplo:

 

Resolver um sistema de equações significa achar os valores das variáveis (no exemplo x e y) que satisfazem às equações dadas.

Existem alguns métodos para a resolução desses sistemas, utilizaremos aqui o método chamado de; método da adição.

Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em uma equação com uma única incógnita.

 

Exemplo: Resolva o sistema

1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x

 2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

2x + y = 6

2x + (-2) = 6

2x – 2 = 6

2x = 6 + 2

2x = 8

x = 8 : 2 = 4

3º passo: dar a solução do sistema.

          S = { (4, -2) } 

Problemas do 1º grau: problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados  incógnitas.

Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.

A resolução de um problema possui três fases:

1ª) Colocar os problemas em forma de equação ou equações;

2ª) Resolver a equação ou equações do problema;

3ª) Proceder à interpretação da solução no problema em questão.

Exemplos:

a)  A soma de três números de três números naturais e consecutivos é 63. Determine esses números.

     1ª) Três números consecutivos podem ser escritos como: x, x + 1 e x + 2, assim:

           ( x) + (x + 1) + (x + 2 ) = 63

     2ª) Resolvendo:

x+ x + 1 + x + 2 = 63

3x + 3 = 63

3x = 63 – 3

3x = 60

x = 60 : 3 = 20

             os números serão:

x = 20, x + 1 = 20 + 1 = 21 e x+ 2 = 20 + 2 = 22

      3ª) Verificando no problema, “soma de três n úmeros consecutivos igual 63”:

20 + 21 + 22 = 63

O que valida os resultados encontrados.       

         

b)   A soma de dois números é 105 e a diferença entre eles é 63. Determinar os dois números.             

1ª) Considerando x e y os dois números que queremos achar, teremos o sistema:

                          

2ª) Resolvendo o sistema:

Substituindo o valor de x na primeira equação:

x + y = 105

                    84 + y = 105

y = 105 – 84

 y = 21

 Os números procurados são 84 e 21.

3ª) Verificando no problema “soma de dois números é 105 e a diferença entre eles é 63”:

 

O que valida os resultados encontrados.