EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ÁLGEBRA BÁSICA

01)  Calcule 934287² - 934286².

  a) 1868573

  b) 1975441

  c)  2

  d)  1

  e)  934288

     Podemos optar por dois caminhos para a solução da expressão, considerar que:

934287 = 934286 + 1 

 Ou

934286 = 934287 – 1

Vamos optar pelo primeiro caminho, teremos então:

934287² - 934286² = (934286 + 1)² - 934286² = 934286² + 2.93486.1 + 1² – 934286² =

= 934286²  – 934286² + 1868572 + 1 = 1868573

Que corresponde a opção a da questão.

02)  Sendo ( a + b )² = 900 e ab = 200, calcule o valor de a² + b².

Podemos escrever que:

 ( a + b )² = 900 ==> a² + 2ab + b² = 900

Como ab = 200, temos 2ab = 2 . 200 = 400

Assim: a² + 2ab + b² = 900 ==> a² + 400 + b² = 900

a² + b² = 900 – 400 = 500

Portanto temos que:  a² + b² = 500

04)  Sabe-se que 2x + y = 10 e 2x – y = 2, então calcule o valor de 4x² - y².

Podemos escrever que:

 4x² - y² = (2x)² - y²

Sabem os que (a + b).(a – b)² = a² - b², logo teremos: a = 2x e b = y, ou

 (2x + y).(2x – y) = (2x)² - y² = 4x² - y²

 10 . 2 = 4x² - y²

4x² - y² = 20

04)  O valor de x que verifica a igualdade abaixo é:

 

a)    2/3

b)    3/4

c)    3/2

d)    4/3

     Resolvendo a questão das frações. Podemos ter que [veja que o mmc(2, 3, 6) = 6]:

 

   
 Como todos os denominador são iguais a 6, podemos escrever que:

    3(x – 1) – (4 – 3x) = 2 – 6x

    3x – 3 – 4 + 3x = 2 – 6x

    3x + 3x + 6x = 2 + 3 + 4

   12x = 9

    x = 9/12 (:3)

    x = 3/4

   Portanto a resposta é a letra b.

05)  A soma de 3 números inteiros consecutivos é 60. Assinale a afirmação verdadeira.

a)    O quociente do maior pelo menor é 2.

b)    O produto dos 3 números é 8000.

c)    Não existem números nestas condições.

d)    Falta informação para encontrar os 3 números.

e)    O produto dos 3 números é 7980.

   

Podemos escrever que: se um número e x, o seu consecutivo é  x + 1 e que, por sua vez, o seu consecutivo é  (x + 1) + 1 = x + 2.

Assim podemos considerar os três números como x, x + 1 e x + 2, e problema poderá ser escrito como:

    x + (x + 1) + (x + 2) = 60

    x + x + 1 + x + 2 = 60

    3x + 3 = 60

    3x = 60 – 3

    3x = 57

    x = 57/3

   x = 19

   Teremos então S = { 19, 20, 21} ( observe: 19 + 20 + 21 = 60 )

   b)    21/19 =< 2 (para ser maior que dois deveria ser um número maior que 38)

   c)    19 x 20 x 21 = 7980 o que garante como resposta e letra e.

 06) O governo autorizou, em janeiro deste ano, um aumento de tarifa de chamadas locais de telefones fixos para telefones móveis. Essas tarifas custavam R$ 0,27. por minuto e passaram a custar 0,30. João, fez uma ligação que durou 'x' minutos. O valor que João vai pagar pela ligação, somado ao valor que ele pagaria pela ligação com a tarifa antiga é de R$ 3,99. O tempo gasto, em segundos, não ligação que João fez é?

Veja que o valor a ser pago por uma ligação será  tarifa x tempo, assim:

Com a tarifa antiga teríamos o custo: 0,27 . x

Com a tarifa nova teríamos o custo : 0,30 . x

Pelos dados do problema teremos que: 0,27x + 0,30x = 3,99

Ou: 0,57x = 3,99

Assim: x = 3,99 : 0,57 = 7

07) O número que somado aos seus 2/3 resulta 30 é:

a)    ímpar

b)    primo

c)    múltiplo de 9

d)    quadrado perfeito

e)    divisor de 30

Se considerarmos x  o número em questão, podemos reescrever o problema como:

 

 Resolvendo o problema da fração, teremos:

Assim a opção que se enquadra na resposta encontrada é a letra d. (pois 16 = 4²)

08) De um recipiente cheio de água tiram-se 2/3 de seu conteúdo. Recolocando-se 30 l de água, o conteúdo passa a ocupar metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é:

a)    45 l

b)    75 l

c)    120 l

d)    150 l

e)    180 l

Vamos chamar de x a capacidade do recipiente, assim podemos escrever que:

 

Resolvendo o problema da fração,  teremos: mmc(2,3) = 6

O que determina a letra d para a resposta do problema.

 

09) Em um quintal há galinhas e coelhos, perfazendo o total de 14 cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas.

Sabemos as galinhas possuem dois pés, e os coelhos quatro pés, chamando de g a variável que representa as galinhas e c a que representa os coelhos, podemos escrever:

Cabeças: g + c = 14

Pés: 2g + 4c = 38

Assim podemos formar o sistema:

Resolvendo, teremos:

Somando as equações teremos que: 2c = 10 ou c = 10 : 2 = 5

Como: g + c = 14, temos: g + 5 = 14 ou g = 14 – 5 = 9

Portanto podemos dizer que temos 5 coelhos e 9 galinhas no quintal. (confirmando:5+9 = 14 cabeças e 4.5 = 20, 2.9 = 18 então 20 + 18 = 38 pés) 

10) O triplo de um número mais dois é igual a seis menos o próprio número. Qual é esse número?

Vamos chamar este número de n, assim podemos escrever:

3n + 2 = 6 – n

3n + n = 6 – 2

4n = 4

n = 4 : 4 = 1

Logo o número procurado é 1, (vejamos 3.1 + 2 = 6 – 1, de fato 3 + 2 = 5 e 6 – 1 = 5)
  

11)  Numa caixa há bolas brancas e pretas num total de 360. Se o número de brancas é o  quádruplo do de pretas, então o número de bolas brancas é:

a)    72

b)    120

c)    240

d)    288

e)    300

Vamos chamar de b as bolas brancas e de p as pretas, assim teremos o sistema:

b + p = 360 e b = 4p

ou

4p + p = 360

5p = 360

p = 360 : 5 = 72 bolas pretas

as brancas serão: b = 4p = 4.72 = 288 bolas brancas

A resposta, portanto é a letra d. (confirmando: 288 + 72 = 360)

12) O Professor decide presentear um grupo de alunos com livros. Observou que, se ele der 2 livros a cada aluno, sobrarão 20 e, se ele der 3 livros a cada aluno, faltarão 30 livros. A quantidade de livros é:

a)    50

b)    120

c)    70

d)    80

e)    100

Vamos chamar de n o número de alunos e de m o número de livros, assim teremos o sistema:

Resolvendo, teremos:

 

Somando as duas equações, podemos escrever que:

n = 50

Se temos 50 alunos, podemos dizer que: 2.50 = m – 20  ou 100 = m – 20, portanto temos que m = 120 livros.

Esta resposta corresponde a letra b.

13)  A soma de um número positivo com o seu quadrado é igual a 42. Calcular o número.

      Chamando de x este número, teremos:

      x + x² = 42 , trata-se pois de uma equação do 2º grau e sabemos que a sua forma para resolução é ax² + bx + c = 0, portanto precisamos transformá-la para esta forma, onde ficará:

     x² + x – 42 = 0, onde podemos identificar que: a = 1, b = 1 e c = -42, aplicando na fórmula de Bhaskara:

 

      Teremos duas raízes, a saber:

      

     Como o problema fala “número positivo”, o resultado do problema e x = 6.

14) A soma de dois números é 18 e a soma de seus quadrados é 194. Quais são esses  números?

Chamando de x e de y os dois números, teremos:

x + y = 18 e x² + y² = 194

isolando x na primeira equação teremos: x = 18 – y

substituindo o valor de x na segunda equação, obteremos:

(18 – y)² + y² = 194

Aplicando os produtos notáveis teremos:

18² - 2.18.y + y² + y² = 194

324 – 36y + 2y² = 194 (colocando na forma da equação do 2° grau)

2y² - 36y + 324 – 194 = 0

2y² - 36y + 130 = 0 ( : 2)

y² - 18y + 65 = 0 (a = 1, b = -18 e c = 65

Teremos duas raízes, a saber:

Portanto os números procurados são 13 e 15      (  verifique  : 13 + 5  = 18      e     13² + 5² = 169 + 25 = 194)

 

15)  Achar dois números cuja diferença é 28 e cujo produto é –52.

 Vamos chamar de x e y estes números, teremos então:

 x – y = 28 e x . y = –52

 isolando o valor de x na primeira equação:  x = 28 + y

 e substituindo o valor de x na sgunda equação, obteremos:

(28 + y) . y = –52

28.y + y.y = –52

28y + y² = –52 (colocando na forma da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0)

      y² + 28y + 52 = 0 (a = 1, b = 28 e c = 52)

Teremos duas raízes, a saber:

 

Sabendo que x = 28 + y

Para y = –2, x = 28 + (–2) = 28 – 2 = 26

Para y = –26, x = 28 + (–26) = 2

Portanto teremos duas soluções (26 e –2) e (2 e –26) ou

S = { (2, –26), (26, –2)}, sugestão: verifique se está certo .