1.4.     MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Mínimo Múltiplo Comum (mmc): O mínimo múltiplo comum de dois números não nulos a e b é o menor número, excluindo o zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de a e de b.

Exemplos:

a)       Calcular o mmc entre 2 e 3.

Teremos :     M(2) = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, .... }

                   M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... }

       Múltiplos comuns entre M(2) e M(3) = { 0, 6, 12, 18, 24, ... }

Os elementos do conjunto acima são os múltiplos ao mesmo tempo de 2 e 3. Excluindo o zero, o número 6 é o menor múltiplo comum entre 2 e 3, e escrevemos :

mmc(2, 3) = 6

b)       Calcular o mmc (18, 25, 30)

Para calcularmos o mmc entre dois ou mais números, utilizamos uma regra prática, chamada regra da decomposição simultânea de seus fatores primos. Ou seja :  

18 ,	25 ,	30	2
9 ,	25 ,	15	3
3 ,	25 ,	5	3
1 ,	25 ,	5	5
1 ,	5 ,	1	5
1 ,	1 ,	1

mmc (18, 25, 30) = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 450     

                   

 mmc(18, 25, 30) = 450

Máximo Divisor Comum (mdc) : o máximo divisor comum de dois números não nulos a e b é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de a e de b.

Exemplos :

a) Calcular o mdc entre 12 e 18.

Temos que :         D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

                           D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }

              Divisores comuns entre D(12) e D(18) = { 1, 2, 3, 6 }

Os elementos do conjunto acima são os divisores ao mesmo tempo de 12 e 18, logo podemos verificar que o 6 é o maior divisor comum de 12 e 18, e escrevemos:

                               mdc (12, 18) = 6

c)       Determinar o mdc (60, 42, 24)

Vejamos uma maneira prática de determinar o mdc entre estes dois ou mias números. Para tanto vamos realizar a fatoração simultânea destes número verificando aquele número que um divisor comum aos três números dados. Ou seja:

60 ,	42 ,	24	2
30 ,	21 ,	12	2
15 ,	21 ,	6	2
15 ,	21 ,	3	3
5 ,	7 ,	1	5
1 ,	7 ,	1	7
1 ,	1 ,	1

 

Observe que os números 2,2 e 3, marcados em vermelho, são divisores comuns a 60,42 e 24, logo:

mdc(60, 42, 24) = 2 x 2 x 3 = 12

mdc(60, 42, 24) = 12 

Observe:

>  Se a é divisível por b, então mdc (a, b) = b e mmc (a, b) = a.

>  Se a e b são primos entre si, então mdc (a, b) = 1 e mmc (a, b) = a x b.

>  Dados quaisquer a e b, então mmc (a, b) = (a x b) : mdc (a, b).